第一章Classical theory on pseudo-differential operators(经典拟微分算子理论), （27学时）

1.1　 Symbols Classes(象征类), 3学时；

主要内容：象征的定义；象征的类别，并列举象征类的性质和相关的逼近定理。

难点：象征的估计和相关特殊例子

需要掌握的知识点：象征的概念和相关性质的证明

1.2　 The properties of pseudo-differential operators (拟微分算子的基本性质), 6学时；

主要内容：基于象征类的拟微分算子定义，拟微分算子的映射性质，Schwartz核定理，拟微分算子的拟局部性，恰当支拟微分算子的性质

难点：理解拟微分算子的拟局部性，拟微分算子的映射性质的证明

需要掌握的知识点：拟微分算子的概念和相关性质的证明

1.3　 Wave front set (波前集), 3学时；

主要内容：波前集的定义和性质，波前集的求法

难点：理解波前集的几何意义和物理意义，具体波前集的求法

需要掌握的知识点：波前集的定义和性质证明

1.4　 Algebra of pseudo-differential operators (拟微分算子的代数), 6学时；

主要内容：拟微分算子族的代数性质，包括拟微分算子的复合，拟微分算子的共轭算子以及拟微分算子的拟逆等

难点：拟微分算子的复合和象征公式

需要掌握的知识点：拟微分算子的代数性质

1.5　 Elliptic and sub-elliptic pseudo-differential operators (椭圆与亚椭圆拟微分算子), 3学时；

主要内容：拟微分算子的椭圆性概念和亚椭圆性概念，椭圆算子的性质和判定法则，椭圆算子的复合和拟逆，椭圆算子的波前集和微局部精确化刻画，亚椭圆算子与椭圆算子的区别和联系

难点：椭圆算子的拟逆存在性证明

需要掌握的知识点：椭圆算子的代数性质

1.6　 P seudo-differential operators with Sobolev spaces (拟微分算子与Sobolev空间), 3学时；

主要内容：拟微分算子在Sobolev空间中的映射性质，椭圆算子在Sobolev空间的正则性

难点：拟微分算子在Sobolev空间的正则性

需要掌握的知识点：拟微分算子在Sobolev空间的正则性定理证明

1.7　 Hormander Theorem (Hormander平方和定理), 3学时

主要内容：Hormander平方和定理

难点：Hormander平方和定理的证明思路

需要掌握的知识点：Hormander平方和定理的应用

（二）仿微分算子理论（27学时）

2.1  Littlewood-Paley decomposition (Littlewood-Paley理论), 6学时；

主要内容：Littlewood-Paley二进分解定理，运用二进分解定理给出Sobolev空间和Holder空间的等价定义，以及微局部Sobolev空间和微局部Holder空间的等价定义

难点：二进分解的存在性以及几个定价定义的证明

需要掌握的知识点：二进分解所给出的几个空间的等价定义

2.2  The operations on function spaces (函数空间的代数运算), 3学时；

主要内容：Sobolev空间和Holder空间中元素之间的乘积运算以及相应的微局部空间上两个元素的乘积运算

难点：利用二进分解证明乘积运算

需要掌握的知识点：学会运用二进分解证明数学命题

2.3 Paradifferential Operators (仿微分算子), 6学时；

主要内容：仿积算子定义及映射性质，具有齐次象征的仿微分算子定义及性质，一般开集上的仿微分算子定义及性质

难点：仿微分算子的定义和相关性质

需要掌握的知识点：仿微分算子的性质证明

2.4 Pardifferential linearization for nonlinear PDEs (非线性偏微分方程的仿线性化), 6学时；

主要内容：非线性偏微分方程的仿线性化定理和正则性定理

难点：非线性偏微分方程的仿线性化思想和正则性定理

需要掌握的知识点：正则性定理的证明

2.5 Applications for nonlinear PDEs (对非线性偏微分方程的应用), 6学时

主要内容：仿微分算子的椭圆正则性问题，线性拟微分算子的奇性传播定理对非线性情况的推广

难点：椭圆正则性定理和非线性微分方程解的奇性传播定理

需要掌握的知识点：仿微分算子的椭圆正则性定理